Subašić được sinh bởi người cha Croatia Jovo Subašić theo đạo Chính thống giáo, đến từ làng Zagrad gần Benkovac, và mẹ là người Croatia theo đạo công giáo Catholic Boja (nhũ danh Brkljača) từ làng Raštević. Anh đã được nuôi dạy theo công giáo Catholic.[28][29]

Subašić mặc áo in ảnh của người cố đồng đội tại NK Zadar, Hrvoje Ćustić, dưới lớp tấm áo thi đấu của mình. Ćustić đã qua đời trong một tai nạn trên sân vào năm 2008.[30] Sau trận đấu với ĐT Đan Mạch, Subašić đã lột bỏ áo đấu để trưng ra hình ảnh của bạn, nhưng FIFA đã cảnh cáo Subašić bởi "tin nhắn riêng tư" của anh, như theo luật FIFA có đề cập đến việc một cầu thủ không được phép biểu thị những hình ảnh cá nhân, mang tính chính trị, tôn giáo hoặc các loại nội dung tương tự như vậy. Quyết định được đưa ra bởi FIFA do trước đó các cầu thủ lột áo đấu để biểu thị những hình ảnh hoặc dòng chữ gây tranh cãi, nhạy cảm.[31] Ở trận đấu liền kề sau đấy với ĐT Nga, Subašić bước lên hàng ghế CĐV để tiếp tục lột áo xuống và hiển thị hình ảnh ấy lần nửa, tuy lần này anh chỉ khoe ra một phần nhỏ thôi, vì anh đã bị thành viên ban huấn luyện của Croatia Iva Oliveri cản lại, người mà anh đã ôm lấy sau cùng.[32][33]